Статически неопределимые задачи при кручении. Задача1

 

2014-09-05 21-57-10 Скриншот экрана

Уравнение статики для всего бруса:

ΣМ(z) = МАМ1 М2 + МВ= 0.                                                                      (1)

В этом уравнении два неизвестных (это реактивные моменты в опорах МА и МВ). Следовательно, задача один раз статически неопределима, и для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение, выражающее факт совместности деформаций всех участков бруса.

Здесь можно рассуждать следующим образом: если удалить одну из опор, то брус станет статически определимым2014-09-05 21-58-09 Скриншот экрана

Теперь крайнее правое сечение получило возможность поворачиваться. Но в заданной системе этот поворот невозможен. Поэтому величину МВ в удаленной опоре следует подобрать так, чтобы угол поворота опорного сечения равнялся нулю:

αВ=0 – это условие деформации.

Раскрывая его, будем иметь:

αВ= αАI+ φII+ φIII=0+φI+ φII+ φIII=0.                                                            (а)

2014-09-05 21-59-29 Скриншот экрана

Тогда условие совместности деформаций (а) превращается в уравнение совместности деформаций:

2014-09-05 22-00-46 Скриншот экрана(2)

В этом уравнении три неизвестных крутящих момента (по количеству участков бруса). Для их определения выразим крутящие моменты через заданные внешние скручивающие моменты М1, М2 и реактивные моменты, используя метод сечений. Так в любом сечении первого участка:

2014-09-05 22-01-55 Скриншот экрана

(2014-09-05 22-36-33 Скриншот экрана(b)

Далее, в любом сечении второго участка

2014-09-05 22-37-41 Скриншот экрана

 

2014-09-05 22-38-48 Скриншот экрана©

Наконец, в любом сечении третьего участка:

2014-09-05 22-40-35 Скриншот экрана

2014-09-05 22-41-22 Скриншот экрана(d)

Подставляя (b), © и (d) в уравнение (2), будем иметь:

2014-09-05 22-42-30 Скриншот экрана (2′)

В этом уравнении содержится одно-единственное неизвестное: это реактивный момент в левой опоре МА. Определив его из решения уравнения (2′), обратной подстановкой в формулы (b), © и (d) определим численные значения крутящих моментов 2014-09-05 22-43-35 Скриншот экрана , Таким образом статическая неопределимость задачи будет раскрыта.

Зная крутящие моменты, далее можно решить любую задачу прочности и жесткости бруса.