Задача на статически неопределимый брус с зазором

Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3,  модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

2016-09-04 13-42-56 Скриншот экрана

  1. После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и RВ. Составим уравнение статики.

у=0                RFF2 - RВ =0

В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δ, это условие совместности деформации.

  1. Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.

2016-09-04 13-54-16 Скриншот экрана

Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:

N= - RА

N= 120 - RА

N= 120 - RА

N= 30- RА

3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит

             Δ1+ Δ2+ Δ3+ Δ4= Δ  (величина зазора).

Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации  2016-09-04 12-30-57 Скриншот экранасоставим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.

2016-09-04 14-02-39 Скриншот экрана

Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м

2016-09-04 14-04-59 Скриншот экрана

Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.

2016-09-04 14-05-46 Скриншот экрана

Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.

2016-09-04 14-06-23 Скриншот экрана

4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.

N1=- RА=-47,5кН

N2=120 - RА=72,5кН

N3=120 - RА=72,5кН

N4=30- RА=-17,5кН.

2016-09-04 14-16-38 Скриншот экрана

5. Определяем нормальные напряжения σ  по формуле 2016-09-04 12-23-20 Скриншот экранаи строим их эпюры

2016-09-04 14-20-31 Скриншот экрана

Строим эпюру нормальных напряжений.

2016-09-04 14-24-46 Скриншот экрана

Проверяем прочность.

σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.

Прочность обеспечена.

  1. Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.

Идем от стены А к зазору.

2016-09-04 14-22-44 Скриншот экрана

Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.

Строим эпюру перемещений.

2016-09-04 14-27-36 Скриншот экрана

Задача решена.