Задача 1

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4х простых фигур:

I – швеллера №30а,

II – прямоугольника 2×40см,

III – двутавра №20а,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

2014-12-11 22-06-46 Скриншот экрана

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30а

2014-09-11 22-28-17 Скриншот экрана

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20а.

2014-09-11 22-30-52 Скриншот экрана

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

2014-09-11 22-31-57 Скриншот экрана

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси хi, уi.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

2014-09-11 22-33-07 Скриншот экрана

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х' и у' (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А1=43,89см2, А2=2×40=80см2,

А3=35,5см2, А4=23,3см2.

Координаты центров тяжести отдельных фигур:2014-09-11 22-34-23 Скриншот экрана

Площадь всего сечения А=182,7см2.

2014-09-11 22-35-49 Скриншот экрана

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей хс, усбудут:

а1=2,66см,                            b1=-7,5см

а2=-2,34см,                           b2=-1,93см

а3=-7,34см,                           b3=9,07см

а4=14,33см,                           b4=2,4см.

Этап 2.  Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей  хс, ус.

2014-09-11 22-37-33 Скриншот экрана

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

2014-09-11 22-39-01 Скриншот экрана

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:  

2014-09-11 22-40-34 Скриншот экрана

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

2014-09-11 22-41-31 Скриншот экрана

Положительный угол  α0 соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

2014-09-11 22-42-40 Скриншот экрана

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

2014-09-11 22-44-28 Скриншот экрана

тогда 2014-09-11 22-45-35 Скриншот экрана

 

Проверки.

  1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

.2014-09-11 22-47-00 Скриншот экрана

 

получаем:

2014-09-11 22-48-25 Скриншот экрана

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность <<5%, что вполне допустимо в инженерных расчетах.

2. Проверка правильности вычислений.

Суть ее в том, что если все сделано правильно, то центробежный момент инерции сечения относительно найденных нами главных осей должен равняться нулю.

2014-09-11 22-50-10 Скриншот экрана

Подставляя сюда  2014-09-11 22-51-18 Скриншот экрана  и sin13˚20'=0,2306,                                                    cos13˚20'=0,9730,имеем

2014-09-11 22-52-55 Скриншот экрана

погрешность составляет:

2014-09-11 22-53-57 Скриншот экрана

И эта проверка выполняется.