Расчет статически неопределимой рамы (метод сил) с подбором сечения

Построить эпюры внутренних усилий М, Q, N и подобрать размеры поперечного сечения в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям для рамы, если дано F=80 кН, М=30кНм, q=60кН/м, h=2м, а=1,6м, EIx=const, σadm=160МПа.

Итак, заданная система:

2015-01-06 17-48-45 Скриншот экрана

Найдем степень статической неопределимости системы:

n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2,  где Rчисло всех неизвестных реакций,    Шчисло простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет; 3 — количество уравнений статики.  Рама получилась дважды статически неопределима ( две «лишние» связи и требуется два дополнительных канонических уравнений метода сил).

Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей: 

2015-01-06 17-53-56 Скриншот экрана

Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей неизвестные реакции Х1, Х2 .

2015-01-06 17-57-33 Скриншот экрана

Запишем систему канонических уравнений для выбранной эквивалентной системы:

2015-01-06 18-21-13 Скриншот экрана

Построим эпюру изгибающих моментов MF для основной системы от действия заданных нагрузок, предварительно определив реакции и значения внутренних усилий в характерных сечениях. Определяем опорные реакции:

2015-01-06 18-02-48 Скриншот экрана

2015-01-06 18-23-14 Скриншот экрана

Так как НК и VK получились со знаком минус, меняем их направление действия на схеме.

Определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях силовых участков.

2015-01-06 18-26-24 Скриншот экрана

Построим эпюру изгибающих моментов MF .   Строим эпюру на сжатых волокнах.  

2015-01-06 18-03-26 Скриншот экранаMF

Проверка равновесия узлов:

2015-01-06 18-29-11 Скриншот экрана

Построим единичные эпюры изгибающих моментов 2015-01-06 18-30-17 Скриншот экрана для основной системы от действия соответственно  2015-01-06 18-30-53 Скриншот экрана

При действии  2015-01-06 18-31-31 Скриншот экрана  :

2015-01-06 18-11-14 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции:

2015-01-06 18-33-46 Скриншот экрана

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

2015-01-06 18-35-11 Скриншот экрана

Строим эпюру.

При действии   2015-01-06 18-36-41 Скриншот экрана  :

2015-01-06 18-12-00 Скриншот экрана

Опорные реакции:

2015-01-06 18-37-57 Скриншот экрана

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

2015-01-06 18-38-42 Скриншот экрана

 

Строим эпюру.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов от действия единичных усилий:2015-01-06 18-41-06 Скриншот экрана

 

 

2015-01-06 18-12-50 Скриншот экрана

Определим коэффициенты  канонических уравнений метода сил перемножением эпюр по формуле Симпсона

:2015-01-06 18-43-58 Скриншот экрана2015-01-06 18-45-12 Скриншот экрана

2015-01-06 18-46-06 Скриншот экрана

 

Итак, приступим к расчету:

 

2015-01-06 18-47-39 Скриншот экрана

 

Выполним проверку правильности вычисления единичных коэффициентов:

2015-01-06 18-49-13 Скриншот экрана

Проверка верна.

Определим грузовые коэффициенты:2015-01-06 18-50-48 Скриншот экрана

Выполним проверку правильности вычисления грузовых коэффициентов:

2015-01-06 18-52-44 Скриншот экрана

Проверка верна.

Решаем систему канонических уравнений:

2015-01-06 18-54-08 Скриншот экрана

Построим эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия  неизвестных усилий, для этого умножим единичные эпюры моментов на найденные значения X:2015-01-06 18-55-02 Скриншот экрана   

2015-01-06 18-14-52 Скриншот экрана

2015-01-06 18-15-57 Скриншот экрана

Построим окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной системы путём сложения составляющих 2015-01-06 21-08-47 Скриншот экрана

2015-01-06 18-16-31 Скриншот экрана

Выполним деформационную проверку правильности построения эпюры М  - произведение окончательной и суммарной единичной эпюр должно быть равно нулю (разница не более 5%).

2015-01-06 21-10-52 Скриншот экрана

Проверка верна.

Построим эпюры поперечных и продольных сил, используя зависимость  2015-01-06 21-13-19 Скриншот экрана  , где      2015-01-06 21-14-08 Скриншот экрана, и рассматривая уравнения равновесия для вырезанных узлов.

Поперечная сила на силовых участках:

2015-01-06 21-15-57 Скриншот экрана

Строим эпюру Q

2015-01-06 18-17-25 Скриншот экрана

Определяем продольную силу. Из рассмотрения равновесия узлов D и С  следует:

2015-01-06 21-18-17 Скриншот экрана

2015-01-06 21-19-34 Скриншот экрана

Строим эпюру N

2015-01-06 18-17-57 Скриншот экрана

Подбираем размеры поперечного сечения из условия прочности:

2015-01-06 21-21-16 Скриншот экрана

Согласно сортаменту прокатной стали выбираем двутавр  №27, у которого Wx= 371см3.

Перенапряжение составляет

2015-01-06 21-22-52 Скриншот экрана

Перенапряжение меньше 5% ,что допустимо.