Определение перемещений методом интегрирования дифференциального уравнения оси балки

Для балки определить максимальный прогиб и максимальный угол поворота.

2014-12-16 21-49-38 Скриншот экрана

Ввиду симметрии нагрузки опорные реакции  А=В=ql/2

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

2014-12-16 21-51-23 Скриншот экрана

Интегрируем данное уравнение дважды. После первого интегрирования получаем уравнение углов поворота:

2014-12-16 21-52-48 Скриншот экрана   (а)

После второго интегрирования получаем уравнение прогибов:    

2014-12-16 21-55-24 Скриншот экрана  (б)

Необходимо определить значение постоянных интегрирования — С и Д. Определим их из граничных условий. В сечениях А и В балка имеет шарнирные опоры, значит прогибы в них равны нулю. Следовательно, имеем граничные условия:

1)   z = 0, y = 0.

2)   z = l, y = 0.

Используем первое граничное условие: z = 0, y = 0.

Тогда из (б) имеем:

2014-12-16 22-00-09 Скриншот экрана

Второе граничное условие при z =l дает:

2014-12-16 22-01-17 Скриншот экрана, откуда:

2014-12-16 22-01-56 Скриншот экрана

 

Окончательно получаем.

Уравнение углов поворота:

2014-12-16 22-03-28 Скриншот экрана

Уравнение прогибов:

2014-12-16 22-04-12 Скриншот экрана

При 2014-12-16 22-05-10 Скриншот экрана угол поворота 2014-12-16 22-06-05 Скриншот экрана равен нулю, а прогиб будет максимальным:

2014-12-16 22-06-43 Скриншот экрана

Знак минус говорит о том, что при принятом положительном направлении оси вверх, прогиб будет направлен вниз.

Наибольшее значение угол поворота 2014-12-16 22-06-05 Скриншот экрана имеет на опорных сечениях, например,  при

z = 0:

2014-12-16 22-41-23 Скриншот экрана

Знак минус говорит о том, что угол поворота   при z = 0   направлен по часовой стрелке.