Определение перемещений в балке по формуле Симпсона

Для балки определить линейные и угловые перемещения в точках A, B, C, предварительно подобрав сечение двутавра из условия прочности.

Дано: a=2 м, b=4 м, с=3 м, F=20 кН, М=18 кНм, q=6 кН/м, σadm=160 МПа, Е=2 105 МПа

2014-12-13 15-27-39 Скриншот экрана2014-12-13 15-28-44 Скриншот экрана2014-12-13 15-29-34 Скриншот экрана

1) Вычерчиваем схему балки, определяем опорные реакции. В жёсткой заделке возникает 3 реакции —  вертикальная и горизонтальная, а так же опорный момент. Поскольку горизонтальных нагрузок нет – соответствующая реакция равна нулю. Для того, чтобы найти реакции в точке E, составим уравнения равновесия.

∑Fy= 0        q7-F+RE=0

RE=-q7+F=-67+20=-22кН (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

Найдем опорный момент в жесткой заделке, для чего решим уравнение моментов относительно любой выбранной точки.

∑MC: -ME-RE9-F6-q77/2-M=0 

ME=-18-229+649/2=-18-198+147=-69кНм (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

Далее требуется выполнить проверку правильности определения реакций, составив уравнение равновесия относительно любой точки, к примеру, точки Е, ∑MЕ   = 0.

2) Строим грузовую эпюру  MF– эпюру моментов от заданной нагрузки. 

Для построения эпюр моментов  найдем моменты в характерных точках. В точке В определяем моменты как от правых, так и от левых сил, поскольку в этой точке приложен момент.

2014-12-13 16-22-55 Скриншот экрана

Для построения эпюры момента на линии действия распределенной нагрузки (участки АВ и ВС)  нам нужны дополнительные точки для построения кривой. Определим моменты в серединах этих участков. Это моменты в серединах участков АВ и ВС 15,34 кНм и 23,25кНм. Строим грузовую эпюру.

3) Для определения линейных и угловых перемещений в точке необходимо приложить в этой точке, в первом случае, единичную силу (F=1) и построить эпюру моментов, во втором случае, единичный момент (M=1) и построить эпюру моментов. Строим эпюры от единичных нагрузок для каждой точки – А, В и С.

 4) Для нахождения перемещений мы используем формулу Симпсона. 

2014-12-13 16-25-22 Скриншот экрана

где  li – длина участка;

 EIi – жесткость балки на участке;

 MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

2014-12-13 16-29-48 Скриншот экрана–  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак  «+»,  если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Рассмотрим применение формулы Симпсона на примере определения перемещений в точке А.

Определим прогиб, перемножив грузовую эпюру на эпюру  от единичной силы.

2014-12-13 16-32-50 Скриншот экрана

Прогиб получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением единичной силы (направлено вверх).

Определим угол поворота, перемножив грузовую эпюру на эпюру  от единичного момента.

2014-12-13 16-34-27 Скриншот экрана

Угол поворота получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного момента (направлен против часовой стрелки).

5) Для определения конкретных значений перемещений требуется подобрать сечение. Подберем сечение двутавра 

 2014-12-13 14-53-40 Скриншот экрана2014-12-13 17-38-58 Скриншот экрана

где Mmax – это максимальный момент на грузовой эпюре моментов

 

Подбираем по сортаменту двутавр №30  с Wx=472см3 и Ix= 7080см4

6) Определяем перемещения в точках, раскрывая жесткость сечения: E – модуль продольной упругости материала или модуль  Юнга (2 105 МПа),  Jx – осевой момент инерции сечения

Прогиб в точке А (вверх)

2014-12-13 17-42-08 Скриншот экрана

Угол поворота (против часовой стрелки)

2014-12-13 17-42-58 Скриншот экрана

Если требуется построить изогнутую ось балки, то балка вычерчивается без нагрузки, и в точках откладываются прогибы в соответствующие стороны — строится плавная кривая – изогнутая ось балки.