Расчет стального ломаного бруса (стержня)

Стальной ломаный плоскопараллельный брус нагружен внешними силами. Требуется выполнить проектировочный расчет, вертикальное перемещение свободного конца бруса, если дано:

2015-01-13 22-09-46 Скриншот экранагде а -длина участков бруса ; σтртс   -предел прочности при растяжении и сжатии ; n —  коэффициент запаса прочности . Отношение большей стороны h к меньшей b в поперечном прямоугольном сечении бруса равно h/b. Диаметр круглого поперечного сечения бруса будем обозначать через d. 2015-01-13 19-51-42 Скриншот экрана

В расчете используем принцип независимости действия сил. Загружаем брус сначала силой F в сечении А. Участки стержня АВ, ДЕ планируется изготовить круглого поперечного сечения, а ВС, СДпрямоугольного сечения.

Эпюры строим по значениям моментов в характерных сечениях. Эпюры изгибающих моментов строим на сжатых волокнах.2015-01-13 19-52-35 Скриншот экрана

Строим эпюру изгибающих моментов2015-01-13 22-13-39 Скриншот экрана2015-01-13 19-53-12 Скриншот экрана

Строим эпюру крутящих моментов2015-01-13 19-53-46 Скриншот экранаЗагружаем стержень  нагрузкой 2F в сечении С2015-01-13 19-54-23 Скриншот экрана

Строим эпюру изгибающих моментов 2015-01-13 22-17-38 Скриншот экрана2015-01-13 19-55-01 Скриншот экрана

Эпюра крутящих моментов — нулевая, кручения на участках нет

Получаем суммарные эпюры 

Суммарная эпюра изгибающих моментов2015-01-13 19-55-34 Скриншот экрана

Суммарная эпюра крутящих моментов2015-01-13 19-56-08 Скриншот экрана

Для стержня круглого поперечного сечения опасным является сечение Е

2015-01-13 22-20-36 Скриншот экрана

Имеет место косой изгиб с кручением.

2015-01-13 19-57-21 Скриншот экрана

Покажем эпюры нормальных напряжений от действий изгибающих моментов и эпюру касательного напряжения от действия крутящего момента2015-01-13 19-57-57 Скриншот экрана

Покажем напряженное состояние в точках 1 и 2

Точка 1

2015-01-13 19-58-43 Скриншот экрана

Точка 2

2015-01-13 20-00-07 Скриншот экрана

Определим нормальное напряжение (от результирующего момента) и касательное напряжение

2015-01-13 22-27-32 Скриншот экрана

Точки 1 и 2 равноопасны по прочности

Определим эквивалентное напряжение по третьей теории прочности и требуемый диаметр

2015-01-13 22-30-57 Скриншот экрана

Принимаем d=0,07м = 70 мм.

На втором участке опасное сечение D: 2015-01-13 22-32-58 Скриншот экрана это изгиб с кручением

Показываем сечение и эпюры напряжений2015-01-13 20-00-42 Скриншот экрана

Для точки 3

2015-01-13 20-01-20 Скриншот экрана

2015-01-13 22-35-52 Скриншот экрана

Коэффициенты α=f1(h/b) и γ= f2(h/b) берем из Таблицы « Значения коэффициентов  α, β, η при кручении прямоугольного стержня»

Точка 4

2015-01-13 20-02-03 Скриншот экрана2015-01-13 22-41-06 Скриншот экрана

Точка 3 более опасна, чем точка 4

Определяем напряжение и ширину сечения2015-01-13 22-42-27 Скриншот экранаПринимаем b=0,035м=35мм

Проверяем прочность стержня с учетом нормальных напряжений от продольной силы.

Строим эпюру продольных сил от действия обеих сил F. 2015-01-13 20-02-49 Скриншот экранаОпасным является сечение D на участке CD.

Определяем напряжение 

2015-01-13 22-45-04 Скриншот экрана

Опасной является точка 3 сечения D.

Записываем условие прочности по III теории прочности

2015-01-13 22-46-56 Скриншот экранаУсловие прочности выполняется.

Определяем вертикальное линейное перемещение свободного конца  стержня (без учета действия N).

Прикладываем единичную силу в сечение А. 2015-01-13 20-03-31 Скриншот экрана

 

Строим эпюру изгибающих моментов 2015-01-13 20-04-05 Скриншот экрана

 

Строим эпюру крутящих моментов 2015-01-13 20-04-33 Скриншот экрана

Используем метод Мора с использованием способа Симпсона. Перемножаем значения силовых факторов суммарных эпюр Ми и Мк  от действующих нагрузок на значения единичных эпюр по формуле Симпсона

2015-01-13 22-53-45 Скриншот экрана2015-01-13 22-54-24 Скриншот экрана

Вертикальное перемещение определено.