Задача на устойчивость. Диаграмма зависимости критического напряжения от гибкости

Подобрать размеры поперечного  сечения стойки из двух равнополочных уголков для стержней с длинами: l1=0,9 м; l2=1,5 м; l3=2,8 м; l4=3,6 м. Сжимающая сила F=350 кН. Материал стержня сталь Ст3, Построить график зависимости критических напряжений от гибкости для стали Ст3 и отметить в данной системе координат знаками соответствующие значения  2015-03-09 14-35-23 Скриншот экрана  и  2015-03-09 14-36-02 Скриншот экранадля стержней заданных выше длин. Найти рабочие коэффициенты запаса по устойчивости. Дано: допускаемое напряжение 2015-03-09 14-40-21 Скриншот экрана,предел пропорциональности2015-03-09 14-41-05 Скриншот экрана,предел текучести 2015-03-09 14-41-54 Скриншот экрана2015-03-09 14-42-28 Скриншот экрана

Рассмотрим схему стойки.

2015-03-09 14-46-28 Скриншот экрана Коэффициент приведения, зависящий от способов крепления концов стержня для данной стойки 2015-03-09 14-45-40 Скриншот экрана

Подбор сечений стержней. Сечение из двух равнополочных уголков. 2015-03-09 14-48-12 Скриншот экрана

Первый стержень ℓ1=0,9 м = 90 см.

Приближение 1. Задаемся коэффициентом продольного изгиба в пределах от 0 до 1.

Задаемся 2015-03-09 14-50-31 Скриншот экрана Из условия устойчивости стойки необходимая площадь:2015-03-09 14-51-22 Скриншот экранаТак как А=2А1=2А2, из таблиц сортамента прокатной стали выбираем уголок равнополочный  2015-03-09 14-53-08 Скриншот экрана, которому соответствуют следующие характеристики:2015-03-09 14-54-20 Скриншот экрана

Оси x и y — главные центральные, при этом определим минимальный момент инерции сечения:2015-03-09 14-56-13 Скриншот экрана

Очевидно ,что минимальный момент инерции относительно оси x,   Imin=Ix.

Определим радиус инерции и гибкость:

2015-03-09 14-58-35 Скриншот экранаИспользуя таблицу зависимости между  2015-03-09 14-59-31 Скриншот экрана   и 2015-03-09 14-36-02 Скриншот экрана и правило линейной интерполяции, получим:2015-03-09 15-25-40 Скриншот экрана

Разница между 2015-03-09 15-26-50 Скриншот экрана  и 2015-03-09 15-28-13 Скриншот экрана превышает 3%, поэтому необходимо выполнить следующее приближение.

Приближение 2. Задаемся:

 2015-03-09 15-31-18 Скриншот экрана Тогда: 2015-03-09 15-32-37 Скриншот экранаВыбираем уголок равнополочный 2015-03-09 15-33-24 Скриншот экрана, которому соответствуют:2015-03-09 15-34-10 Скриншот экрана тогда:2015-03-09 15-35-08 Скриншот экранаПринимаем2015-03-09 15-33-24 Скриншот экрана

Напряжение в сечении (А=24,6 см2) :2015-03-09 15-36-26 Скриншот экрана

Допускаемое напряжение по устойчивости: 2015-03-09 15-37-35 Скриншот экрана

Недонапряжение:2015-03-09 15-38-45 Скриншот экрана2. Второй стержень 2015-03-09 15-39-45 Скриншот экрана Расчеты  подбора сечения приводить не будем, они показаны на примере первого стержня, поэтому сразу ответы:2015-03-09 15-41-44 Скриншот экранаНапряжение в сечении стержня:2015-03-09 15-42-38 Скриншот экрана

Допускаемое напряжение по устойчивости:2015-03-09 15-43-28 Скриншот экрана

Недонапряжение:2015-03-09 15-44-30 Скриншот экрана3.Третий стержень.2015-03-09 15-45-32 Скриншот экрана Ответы:2015-03-09 15-46-56 Скриншот экрана4.Четвертый стержень. 2015-03-09 15-48-02 Скриншот экрана Ответы: 2015-03-09 16-27-16 Скриншот экрана

Теперь будем строить диаграмму зависимости критического напряжения от гибкости2015-03-09 14-27-03 Скриншот экрана

Для стержней большой гибкости при  2015-03-09 16-30-59 Скриншот экрана  для определения критического напряжения используются выражения (формула) Эйлера:2015-03-09 16-34-30 Скриншот экрана

2015-03-09 16-33-05 Скриншот экрана  —    это предельная гибкость, величина постоянная и зависит от механических свойств материала. Берется либо из таблиц ,либо рассчитывается. Здесь рассчитаем:2015-03-09 16-35-51 Скриншот экрана

На диаграмме стержням большой гибкости соответствует кривая BC , так называемая кривая Эйлера. Строится не менее ,чем по 3 точкам.

Диаграмма  зависимости критического напряжения от гибкости

Диаграмма зависимости критического напряжения от гибкости

Поведение стержней средней гибкости  2015-03-09 16-42-19 Скриншот экранаопределятся прямой CD с координатами точек C     2015-03-09 16-42-54 Скриншот экрана и D

2015-03-09 16-44-21 Скриншот экрана, где2015-03-09 16-45-46 Скриншот экрана  -это гибкость, при которой критическое напряжение становится равным значению опасных напряжений сжатия – пределу текучести для пластичных материалов и пределу прочности для хрупких. В нашем случае опасное напряжение — это предел текучести. Прямая СD называется прямой Тетмайера-Ясинского.

Для стержней малой гибкости  2015-03-09 17-16-23 Скриншот экрана характерен участок  2015-03-09 17-16-55 Скриншот экрана .

Теперь, используя найденные ранее гибкости и напряжения, нанесем точки на диаграмму. Также определим коэффициенты запаса устойчивости.2015-03-09 17-22-50 Скриншот экрана